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本文我們將回顧一下《電動力學(xué)》中矢量勢的多極展開和磁偶極矩的一些性質(zhì)，只是作為回顧。

1.矢量勢的多極展開

我們都知道，在給定電流分布的空間中激發(fā)的磁場矢量勢為

其中 是源點(diǎn)， 是場點(diǎn)， 是從源點(diǎn)到場點(diǎn)的距離。 事實(shí)上，無窮大已被選為矢量勢的零點(diǎn)。 如果電流分布在一個較小的區(qū)域，并且場點(diǎn)距離該區(qū)域較遠(yuǎn)，則可以進(jìn)行多極擴(kuò)展。

以區(qū)域內(nèi)某一點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，利用展開式

磁場矢量勢的多極展開式可得為

矢量勢的零階展開式為

由于恒流的連續(xù)性，可以將電流分成許多個封閉的流管，那么對于其中一個流管，有

流管中流動的電流在哪里，所以我們得到

上式的物理意義表明，矢量勢（磁場）的多極展開式不包含磁單極子項(xiàng)，即不包含電場情況下點(diǎn)電荷對應(yīng)的項(xiàng)。

接下來我們討論磁場矢量勢的多極展開式的第二項(xiàng)。

出于同樣的原因，由于恒流可以分為許多閉合流管，因此考慮閉合線圈的計算。 假設(shè)線圈電流為，那么我們有

上式中是一個固定向量，與積分變量無關(guān)，而是線圈上點(diǎn)的坐標(biāo)。 因此，通過全微分得到閉環(huán)周圍的線積分等于，即

所以

此時的表達(dá)式可以改寫為

其中，上式中

是電流線圈的磁矩。 對于一個小線圈，如果它所包圍的面積元是

那么我們可以得到

對于一般給定的電流分布空間，我們將其替換為，并得到磁矩為

2. 磁偶極矩的一些性質(zhì)

回想一下上一節(jié)中磁場矢量勢的多極展開式的第二項(xiàng)是

然后我們可以得到磁偶極矩的磁場為

有

因此有

在電流分布以外的空間中，磁場可以用磁標(biāo)量勢來描述電動力學(xué)郭碩鴻，因此我們可以將上式進(jìn)一步轉(zhuǎn)化為磁標(biāo)量勢的梯度形式。 由于是常數(shù)向量，由向量運(yùn)算規(guī)則可知

在上式中，我們利用了無旋性質(zhì)，即

然后我們得到

其中磁偶極勢為

電偶極矩產(chǎn)生的電偶極勢

比較起來可以看出，磁偶極子電勢與電偶極子電勢在形式上是相似的。 在上面的公式中

小電流線圈可以看作是由一對正負(fù)磁核組成的磁偶極子電動力學(xué)郭碩鴻，其磁偶極矩為

經(jīng)證實(shí)，這意味著磁場確實(shí)可以用電流分布區(qū)域外空間的磁標(biāo)量勢來描述。

任意電流線圈可以看成是由它所圍成的曲面上的許多小電流線圈的組合，所以它的總磁偶極矩為

式中，是線圈圍成的某個曲面，但這個曲面并不是唯一確定的。 其實(shí)并不取決于曲面的選擇，即假設(shè)sum是以線圈為邊界的兩個曲面，那么sum就成為一個閉曲面，負(fù)號表示取法線方向相反，所以我們有

現(xiàn)在

因此，這兩個表面具有相同的值。 至于更先進(jìn)的磁多極矩，由于實(shí)際中很少使用，所以我們不再詳細(xì)討論。

三、參考資料

(1) 電動力學(xué)，郭碩宏著

(2) 經(jīng)典電動力學(xué)，作者：約翰·大衛(wèi)·杰克遜

(3) 電動力學(xué)導(dǎo)論，作者：David J.Grimths

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