探索空間中直線、平面的垂直：教學目標、方法、過程與反思
更新時間：2024-07-17 10:26:05作者：佚名
以下是內容摘要：
教學內容呈現
各位領導、各位老師大家好，今天我給大家講授的課程題目是《空間中直線與平面的垂直性》。
我將從教學目標、教學方法、教學過程、教學反思四個方面進行分析。
01
談論教學目標
全書從教學要素出發直線的法向量，介紹了教材資源、內容定位、課程標準、生源分析等。
教材解析——
本課選自《2019年人教版高中數學選修必修上冊》第一章1.4.1第三課《空間中直線與平面的垂直性》，主要研究空間中點、線、面的向量表示，利用空間向量解決直線與平面的垂直性，是一節新課。
內容定位——本課以空間中直線與平面的平行性為基礎貝語網校，繼續用直線的方向向量與平面的法向量來描述空間中直線與平面的垂直關系。本課不僅是對前面知識的鞏固與升華，完成定性分析；也是后續對直線與平面間距離、夾角等定量研究的基礎。同時，本課體現了變換與歸約、類比與歸納等數學思想，是高中立體幾何課程的重點課題之一。
課程標準解讀：能用矢量語言描述空間中的點、線、面，理解直線的方向矢量、平面的法矢量；能用矢量語言表達直線之間、線與面、平面之間的垂直關系；能用矢量的方法證明必修內容中關于直線與平面垂直的定理。
學情分析——信息時代，人工智能完全可以替代人工完成很多基礎性的工作，這對學習活動提出了挑戰，要求學生學會學習，具備深度思考的能力。通過課堂活動，學生體驗獨立思考、合作學習，逐步養成用理論指導實踐的科學學習觀。
高二階段是心理發展階段，容易出現兩極分化，已經完全適應高一節奏的學生可以快速進入狀態，暫時落后的學生需要及時趕上隊伍。通過調動參與課堂的積極性，讓更多的人看到課堂的精彩。通過及時、積極的反饋，增強目的感。課堂上需要更多的學習指導，培養學生與生活經驗建立聯系，進行高路徑遷移，在解決問題的過程中體驗成就感。
重點難點解析——
重點：運用矢量方法解決空間圖形的垂直問題。
難點：1、建立空間圖形基本元素與向量之間的關系；
2. 如何將立體幾何問題轉化為空間矢量問題。
教學目標：能用矢量語言表達直線之間、直線與面、平面之間的垂直關系；能用矢量的方法證明必修內容中關于直線與平面垂直關系的判斷定理。
核心素養——建立空間圖形基本元素與向量的關系，培養在必修內容中運用向量方法證明直線與平面垂直關系定理的能力。提高學生數學抽象、邏輯推理、數學運算等數學核心素養。
02
談論教學方法
在教學過程中，根據教學任務和學習的客觀規律，采用啟發式教學法；從高中學生智力發展特點和抽象思維能力訓練的實際出發，以學生的啟發式思維為核心，調動學生學習的主動性和積極性，將教學設計中的“預設”情境與課堂的“生成”相結合。在教學過程中，特別注重學習方法的引導。讓學生從機械的“學答”轉變為“學”，從“學”轉變為“學會學”，成為學習的真正主人。引導學生獨立思考、小組討論，或在教師的引導下（啟發學生）學會發現、提出問題。師生、生生之間，利用課內互動、疑惑、答疑等多種形式，加強課堂上知識的消化、吸收、鞏固和內化。
03
談論教學過程
本課程分為四個部分：
第一節：探索空間中直線與平面的垂直關系
類似于空間中平行線和平面的矢量表示，矢量是否也能表示空間中線和平面的垂直關系？
后續問題：空間中直線和平面的垂直關系是怎樣的？
設計意圖是先讓學生獨立思考，再與全班同學交流。教師引導學生類比空間中研究直線與平面平行性的過程，直線與直線、直線與平面、平面的垂直關系的研究可類似進行。讓學生自主探索，將直線與平面的垂直關系的研究轉化為直線方向向量與平面法向量關系的研究，然后借助圖形分別給出直線與直線、直線與平面、平面的垂直度的向量表達式。
通過問題系列的形式，引導學生思考，鞏固知識體系。
它們是：空間中直線和平面之間的位置關系是什么樣的？
學生獨立思考，總結、復習必修內容——直線之間的垂直關系、直線與平面之間的垂直關系、平面之間的垂直關系。
接下來引導學生類比平行關系中的向量表示以及轉化垂直關系中的空間向量表示。
問題1：如何用向量表示兩條直線之間的垂直關系？
問題2：如何用向量表示直線與平面的垂直關系？
問題3：根據平面間的垂直關系，可以得到向量間什么關系？
設計意圖：教師引導學生分析利用兩個平面的法向量來表示兩個平面之間的平行關系。
設計意圖：學生用自然語言概括空間中直線與平面的垂直關系，借助圖形語言直觀呈現，用數學符號語言體現簡潔性，再轉化為矢量語言表達。用四種語言表達空間中直線與平面的垂直關系，體現數學是一門抽象而嚴謹的學科，數學研究成果豐富多彩，數學探究活動多樣多樣。
引用教材第32頁關于“邊緣空間”的問題——后續問題：我們隨時隨地都可以看到向量運算的作用。你是否同意“向量是軀體直線的法向量，運算是靈魂”、“沒有運算的向量只能起到路標的作用”這種說法？
設計意圖：引導學生注意向量運算在解決幾何問題中的作用，只有利用向量運算才能解決空間圖形的位置關系和度量問題，例如兩條直線的垂直度可以用它們方向向量的點積為0來表示。
第二步：通過實例總結利用矢量法解決立體幾何問題的方法
教學片段分析：（教材第32頁）
平行六面體的幾何特征明顯，利用幾何方法解題十分有用。
設計意圖：復習平面向量基本定理，用基向量表示平面內任意向量。此環節結合學習情境，充分讓學生自主表達，讓學生體驗用數學的眼睛觀察現實世界，用數學的思維去思考具體的問題情境，鍛煉“用數學語言表達實際問題的能力”。
老師：思路清晰，簡潔（直觀的板書演示，具體見教材。老師及時評價反饋）上面的討論也是教材中的方法，體現了直線與平面垂直的定義——直線與平面內任意一條直線都垂直。
純向量的運算證明了直線與平面的垂直關系，我們可以體會到向量的作用就是通過運算體現出來的。
你們有不同意見嗎？你們有其他想法嗎？我們可以繼續討論。
學生：通過復習“直線與平面垂直定理——直線垂直于平面內兩條相交直線”，我們可以將其轉化為向量表示。還有“直線與平面垂直定理——如果兩條平行線中有一條垂直于平面，則另一條線也垂直于平面”。我們可以把證明方法想象成平面的法向量與向量A1C共線。
設計意圖：例4鼓勵學生從不同角度靈活選擇使用向量法和綜合幾何法解決立體幾何問題，通過比較體會向量法的優勢。啟發學生不斷思考，目的是讓學生認識到代數與幾何的融合是一種普適的方法。讓學生認識到“基礎方法”比“坐標方法”更具有普遍性。
讓學生體會空間向量基本定理在證明中的作用以及利用空間向量解決問題的一般方法。在上述過程中，引導學生理解向量基本定理的本質，領悟“基”的思想，并運用其解決立體幾何中的問題。
例5、證明“一個平面垂直于另一個平面的定理”：如果一個平面通過另一個平面的垂直線，則這兩個平面垂直。
師生活動：學生理解問題含義，嘗試解答，教師指導學生進行分析，將自然語言轉化為數學符號，完成證明。
設計意圖：設置例5的目的是為了讓學生了解用向量法證明兩平面垂直的一般思路。教學過程中要注意突出直線方向向量與平面法向量的作用，即通過直線方向向量與平面法向量，??把與平面的關系完全轉化為兩向量之間的關系，并通過向量的運算，得出空間圖形的位置關系。
重點分析此部分，強化規范操作流程，完成利用矢量工具解決幾何問題的三個步驟。
第三節（課堂部分）理清流程，領悟精髓
回顧本課所學內容，回答下列問題：類比空間中平行的直線與平面的向量表示，直線與平面垂直關系中，直線的方向向量與平面的法向量的關系是怎樣的？你對此有何看法？
這節課我們運用了哪些思想和方法？我們展示了哪些核心數學素質？
第四節：家庭作業
針對高二學生素質的差異，我們進行了分層訓練，這樣既可以讓學生掌握基礎知識，又可以讓有課余時間的學生得到提高，讓每個人都能得到良好的數學教育，讓不同的人在數學上得到不同的發展。我布置的班級作業是：
基本標準：課本第33頁練習1、2、3；結合學習指南中的限時測試部分進行復習和鞏固；
綜合運用：課本第42頁練習5、第43頁練習11。特別是比例4中平行六面體的證明過程，讓學生證明立方體中體對角線垂直于面對角線，并對比幾何方法的證明過程，再次體會向量法的優越性。
板書設計——直觀、系統的板書設計，及時體現課本上的知識點，讓學生理解、掌握。我的板書設計是：
第三課：空間中直線與平面的垂直性
1.垂直線與直線方向向量的關系；
2、直線與平面、直線方向向量與平面法向量的關系；
3、互相垂直的平面與平面法向量的關系。
04
教學反思
本課緊扣課程標準要求，以提高學生核心素養為中心組織教學，實現以數學育人的目標。在本課教學過程中，我注重突出重點，條理清晰，安排各項活動注重互動交流，最大限度調動學生參與課堂的積極性和主動性。主要突出的特點有：
（1）用類比推理研究和解決問題
以此類推，我們可以從上一課“直線與平面在空間中平行”得到“直線與平面在空間中垂直”的向量表示，進而利用向量的方法證明直線與平面垂直的判定定理。
另一種嘗試是引導學生用類比的方法，體驗向量及其運算由二維平面延伸到三維空間的過程，探究空間向量與平面向量的相同點和不同點，啟發學生思考增加維數所帶來的影響。
類比探索是數學研究的一個非常重要的手段，本課利用向量法求解空間中直線、平面的垂直度，構建知識框架，將類比、猜想能力的培養合理融入課堂教學，充分挖掘本課的思維深度與廣度。
（二）課堂與教材的有機結合
教材是教學的藍圖，我們研究教材，結合學生對立體幾何的掌握，根據課堂教學內容進行有機結合，主要體現在以下幾個方面：
一是及時整理總結高一必修內容。
結合高一第二節必修課《空間直線與平面垂直定理的證明》，通過直線方向向量與平面方向向量的刻畫，得到直線與平面垂直定理的證明，順利銜接高一必修內容與高二選修必修內容，鞏固強化知識體系。
第二，單元教學的意識，特別是在例4的證明中，結合前面學過的平面向量基本定理，表示平面中任意向量，推廣到空間向量基本定理，表示空間中任意向量，值得借鑒和推廣。綜合證明方法，結合直線與平面垂直的定義與判定定理，以及直線與平面垂直的性質定理。
第三，利用向量工具解決立體幾何問題的“三個步驟”是本單元第二部分學習距離、角度問題時所提到的，本課結合前面利用空間向量平行關系的學習，提出了利用空間向量解決立體幾何問題的數學建模過程的三個步驟，從頭到尾都能規范地實施，并將大單元后續內容有機地結合起來，讓學生通過綜合運用教材，充分體會到數學知識之間的聯系。
利用學生已有的向量工具解決新問題。教學中要考慮學生的最近發展區，多多啟發學生的猜想。例如，例4中，為了證明直線與平面垂直，設置了獨立思考、小組討論等交流平臺，啟發學生發散思維，讓課堂更加精彩。
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