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如圖，在矩形ABCD中，AE⊥BD于E，S_矩形=40cm²，S_△ABE：S_△DBA=1：5，則AE的長為

A.4cm

B.5cm

C.6cm

D.7cm

試題答案

A

試題解析

根據“S_△ABE：S_△DBA=1：5”可以得到BE：BD=1：5，所以設BE=x，則BD=5x，ED=4x，根據射影定理表示出AB、AD，再根據S_矩形=40cm²，即可求出x的值，再利用△ABD的面積等于矩形面積的一半即可求出AE．

解答：∵S_△ABE：S_△DBA=1：5，

∴BE：BD=1：5，

設BE為x，則BD為5x，∴DE=4x，

在Rt△ABD中，∵AE⊥BD于E，

∴AB²=BE•BD=5x²，

AD²=DE•BD=4x•5x=20x²，

∴S_矩形=AB•AD=x•x=40cm²，

解得x=2cm，

∴BD=5×2=10cm，

S_△ABD=BD•AE=×10×AE=×40cm²，

解得AE=4cm．

故選A．

點評：本題根據面積的比求出邊長的比，再利用射影定理表示出矩形的長與寬，進一步運用面積求出對角線的長，再根據三角形的面積求出對角線上的高．本題難度較大，利用射影定理是解題的關鍵．