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如圖，圓內接四邊形ABCD，AB=AD，∠BAD=60°，AC=2，則四邊形ABCD的面積為

A.4

B.2

C.

D.

試題答案

D

試題解析

連接BD，在AC上取CE=CD，連接DE，作AF⊥BC，交BC延長線于F，作AG⊥DC，交CD于G，先證明△ABD是等邊三角形，再證明△CDE同樣是等邊三角形，可得BC+CD=AC=2，在構造的直角三角形中利用三角函數分別求出△ABC和△ACD的高，根據四邊形ABCD的面積=S_△ABC+S_△ACD即可求解．

解答：解：連接BD，

∵∠BAD=60°，AB=AD，

∴△ABD是等邊三角形．

在AC上取CE=CD，連接DE，

∵∠ECD=∠ABD=60°，

∴△CDE同樣是等邊三角形，

∴CE=CD=DE，BD=AD，∠ADE=∠ADB-∠EDB，∠BDC=∠EDC-∠EDB，

∴∠ADE=∠BDC，

∴△ADE≌△BDC，

∴AE=BC，

∴BC+CD=AC=2

作AF⊥BC，交BC延長線于F，作AG⊥DC，交CD于G，

∠ACB=∠ADB=60°（同弧圓周角相等）

AF=ACsin60°=×2=

同理，AG=ACsin60°=，

四邊形ABCD的面積=S_△ABC+S_△ACD=BC•AF+AG•CD=×（BC+CD）=AC=．

故選D．

點評：本題難度比較大，其中涉及了多步輔助線的作法．分析題意正確地作出輔助線是解題的關鍵．其中在AC上取CE=CD，連接DE，構造等邊三角形是個難點．求出BC+CD=AC=2是求四邊形面積的關鍵步驟．