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如圖，梯形ABCD中，AD∥BC，AB=AD，AE平分∠BAD，交BC于E．

（1）求證：四邊形ABED是菱形；

（2）若∠ABC=60°，BC=3AD，求證：∠CDE=90°．

試題答案

解：（1）∵AD∥BC，

∴∠2=∠3，

∵AE是角平分線，

∴∠1=∠2，

∴∠1=∠2=∠3，

∴AD=AB=BE，且AD∥BE，

∴四邊形ABED是平行四邊形，

又∵AB=BE，

∴四邊形ABED是菱形；

（2）作DF∥AE，交BC于點F，

由（1）知，△ABE是正三角形，

∴∠EDF=∠AED=∠1=60°，

又∵BC=3AD，

∴EF=DF=FC，

∴∠CDF=∠EFD=30°，

∴∠CDE=90°．

試題解析

（1）首先由AD∥BC與AE是角平分線，易證得：AD=AB=BE，且AD∥BE，即可證得：四邊形ABED是平行四邊形，繼而證得：四邊形ABED是菱形；

（2）首先作輔助線：作DF∥AE，交BC于點F，由△ABC是正三角形，求得：∠EDF=∠AED=∠1=60°，又由BC=3AD，易得EF=DF=FC，則可證：∠CDE=90°．

點評：此題考查了平行線的性質，角平分線的定義，菱形的判定以及直角三角形的判定等知識．題目綜合性較強，但難度適中，注意數形結合思想的應用．